[日商簿記1級]最小二乗法

2018年6月22日

経理の仕事をしていたり、簿記の勉強をしていたりすると度々数学の、特に統計の知識を求められることがあります。

これは、経理の仕事内容のひとつである、現在あるデータから未来を予測すると言った特性に由来しているものです。

その中でも個人的に苦手な方が多そうな最小二乗法についてご紹介します。

最小二乗法

こちらは主に工業簿記における原価計算で、いくつかのデータの合計の費用作業時間が分かっていて、そこから変動比率固定費を計算するための手法です。

そもそも最小二乗法とは、測定で得られた数値の組を、1次関数や対数関数など、特定の関数に近似するときにより正確な近似になるように、残差の二乗和を最小とするような係数を決定する方法を言います。

要するに、予想される関数\(f(x)=ax+b\)と各々の点の距離の二乗が最小になるようにする手法のことですね。(下図の赤い線の長さの二乗が最小となる直線を求める。)

なぜ二乗するかというと、上図のように予想する関数\(f(x)=ax+b\)があった場合、単純に直線と点との差の値を足していくだけだと、\(f(x)\)よりも下に位置する\(A\)、\(B\)、\(E\)が負の値をとってしまい、正しい値が導き出せないからです。

では、その早速最小二乗法の求め方を見てみましょう。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \Sigma Y = a \Sigma X + n\cdot b \\ \Sigma X \cdot Y = a \Sigma X^2 + b \Sigma X \end{array} \right. \end{eqnarray}

この二次方程式を解けばいいのですが、なんだかややこしい式ですね。でも、記号の意味さえ分かってしまえば中学校で習う数学のレベルで十分解けてしまいます!

この\(\Sigma\)(シグマ)ですが、数列のところでもよく見られる記号で総和を意味します。由来としては英語で合計を意味するsumの頭文字Sが変形し、\(\Sigma\)になったといわれています。余談ですが、積分を表す\(\int\)(インテグラル)もsumの頭文字が由来らしいです。

では、早速具体的な例を踏まえてみてみましょう。

問題

とある工場で直接作業時間(\(X\))と、製造原価(\(Y\))の実績記録があり、下記のとおりになっています。ここから製造原価(\(Y\))変動比率の\(a\)と、固定費\(b\)に分けて、\( Y = aX + b\)の形で表しなさい。

直接作業時間(\(X\)) 製造原価(\(Y\))
4 800(時間) 105,000(円)
5 1,200 105,000
6 400 45,000
7 1,600 165,000
合計 4,000 420,000

解説

この手の問題は、連立方程式のそれぞれの項に正しい値を入れていくことが鍵になってきます。

まず\(\Sigma X\)と\(\Sigma Y\)ですが、先ほど説明したとおり、\(\Sigma \)は総和をあらわします。つまり合計ということです。なので上の表の合計の値を見てやれば良くて、\(\Sigma X = 4000\)、\(\Sigma Y = 420000\)となります。

次に\(n\)の値ですが、このnはいくつサンプルがあるか、その個数を聞いているだけです。ここでは4~7月の4か月分のデータがあるので、\(n = 4\)となります。

これで一つ目の式は、それぞれの値を代入すると\(420000 = 4000a + 4b\)となります。

二つ目の式の\(\Sigma X \cdot Y\)と\(\Sigma X^2\)ですが、これは改めて表を作ってみましょう。

\(X\) \(Y\) \(X \cdot Y\) \(X^2\)
4 800 105,000
5 1,200 105,000
6 400 45,000
7 1,600 165,000
合計 4,000 420,000

\(X\)と\(Y\)の値は先ほどと変わらないのでそのまま転記すればよくて、ここからそれぞれの月の\(X \cdot Y\)と\(X^2\)を求めてみます。

4月の場合の\(X \cdot Y\)ですと、\(\cdot\)は掛け算を表すため、\(X \times Y\)と同じ意味になり、その値は\(800 \times 105000 = 84000000\)となります。5月以降も同様にその月の値を掛けていくと、以下のように表は埋まります。

\(X\) \(Y\) \(X \cdot Y\) \(X^2\)
4 800 105,000  84,000,000
5 1,200 105,000 126,000,000
6 400 45,000 18,000,000
7 1,600 165,000 264,000,000
合計 4,000 420,000

なので合計の値は\(84000000 + 126000000 + 18000000 + 264000000 = 492000000\)となります。

このことから、\(\Sigma X \cdot Y = 492000000\)が分かりましたね。

\(X\) \(Y\) \(X \cdot Y\) \(X^2\)
4 800 105,000  84,000,000
5 1,200 105,000 126,000,000
6 400 45,000 18,000,000
7 1,600 165,000 264,000,000
合計 4,000 420,000  492,000,000

次に\(\Sigma X^2\)です。これもまずは各月の\(X^2\)の値を求めていきます。

右上の小さい数字は二乗と言って、同じ数を2回掛ける意味なので、4月は\(800 \times 800 = 640000\)、5月は\(1200 \times 1200 = 1440000\)・・・といった具合に計算していきます。

合計の値も含めて表にまとめると以下のようになります。

\(X\) \(Y\) \(X \cdot Y\) \(X^2\)
4 800 105,000  84,000,000  640,000
5 1,200 105,000 126,000,000 1,440,000
6 400 45,000 18,000,000 160,000
7 1,600 165,000 264,000,000 2,560,000
合計 4,000 420,000  492,000,000 4,800,000

これによって\(\Sigma X^2 = 4800000\)が分かり、連立方程式の二つ目の式に代入すると、\(492000000 = 4800000a + 4000b\)となり、以下のような連立方程式を解けばいいことが分かります。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 420000 = 4000a + 4b \\ 492000000 = 4800000a + 4000b \end{array} \right. \end{eqnarray}

早速解いていくと、二つ目の式が\(0\)が多くて消せそうなので、両辺を\(1000\)で割り、

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 420000 = 4000a + 4b \\ 492000 = 4800a + 4b \end{array} \right. \end{eqnarray}
とします。

一つ目の式と二つ目の式で\(4b\)が共通してあるため、二つ目の式から一つ目の式を引き算し、\(72000 = 800a\)、両辺を\(800\)で割り、\(a=90\)が得られます。

今度、この値をどちらかの式に代入して\(b\)を求めたいので、一つ目の式\(420000 = 4000a + 4b\)に代入します。

\(420000 = 360000 + 4b\)

\(60000 = 4b\)

\(b = 15000\)

より、\(b = 15000\)が得られました。なので、変動費率\(a=90\)、固定費\(b = 15000\)となり、答えは\(Y = 90X + 15000\)となります。

解答

\(Y = 90X + 15000\)

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まとめ

このように経理や簿記でも計算を求められることは多く、\(\Sigma \)のように意味を知らないと分からないこともあります。しかし、意味さえ分かっていれば簡単に解けてしまうので、難しそうと身構えず、きっと分かるはずだから理解しよう。という姿勢を持ち続けることが大切だと思います。

次回も経理や簿記に必要な数学の知識の一つ、線形計画法についてご紹介します。

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