M/M/1待ち行列｜科目A-1（応用情報技術者） 令和7年 秋期午前試験 問2
出典：令和7年秋期 午前 問2
分野：基礎理論（中分類） ／ 応用数学
コンピュータによる伝票処理システムがある。このシステムは，伝票データをためる待ち行列をもち，M/M/1の待ち行列モデルが適用できるものとする。平均待ち時間がT秒以上となるのは，システムの利用率が少なくとも何%以上となったときか。ここで，伝票データをためる待ち行列の特徴は次のとおりである。
- 伝票データは，ポアソン分布に従って到着する。
- 伝票データをためる数に制限はない。
- 1件の伝票データの処理時間は，平均T秒の指数分布に従う。
- ア：33
- イ：50
- ウ：67
- エ：80
TSUNAGARU-ADVICE
まず押さえたいこと
M/M/1の待ち行列モデルでは、平均待ち時間は利用率と平均処理時間の関係から求めます。今回のように「平均待ち時間が平均処理時間以上になる条件」を問われた場合は、待ち時間の式に平均処理時間を基準として代入し、利用率について不等式を解くのが基本です。
迷ったときの判断軸
「平均待ち時間」と「平均応答時間」を混同しないことが重要です。M/M/1では待ち行列で待つ時間と、実際に処理される時間は別に扱います。また、利用率が高くなるほど待ち時間は急激に増えるため、単純な比例関係として考えないようにしましょう。
科目Bにつなげるために
特にプロフェッショナルデジタルスキル（システム）試験合格を目指す方は、待ち行列モデルをサーバ負荷、応答時間、キャパシティ設計に結び付けて理解しましょう。利用率をどこまで許容するかを判断することは、性能要件やSLAを満たすためのシステム設計にもつながります。
M/M/1の待ち行列モデルでは、平均サービス時間をT、システムの利用率をρとすると、平均待ち時間は次の式で表せます。
平均待ち時間 = ρ ÷（1 − ρ）× T
問題では、平均待ち時間がT秒以上となる利用率を求めます。したがって、次の不等式を考えます。
ρ ÷（1 − ρ）× T ≧ T
両辺をTで割ると、次のようになります。
ρ ÷（1 − ρ）≧ 1
これを解くと、ρ ≧ 1 − ρ、つまり2ρ ≧ 1となるので、ρ ≧ 0.5です。
利用率0.5は50%を表します。
したがって、イが適切です。