\(5\)種類のりんご(ふじ、つがる、王林、紅玉、陸奥)と\(4\)種類のみかん(愛媛、温州、伊予柑、はるみ)の合計\(9\)種類の果物が各\(1\)個ずつ売られている。この中からあわせて\(4\)つ買って帰りたい。
りんごを少なくとも\(1\)つ選ぶようにすると、その選び方は何通りあるか。
通り
問題文に「少なくとも」があるので余事象を使うことが分かります。
余事象とは、ある事象についてその事象を求めることが難しい(めんどくさい)ため、全体からその事象が起こらない場合を引くことを指します。文章では分かりづらいのでこの問題に当てはめてみましょう。
直接求めた場合は
- りんご\(1\)個、みかん\(3\)個
- りんご\(2\)個、みかん\(2\)個
- りんご\(3\)個、みかん\(1\)個
- りんご\(4\)個、みかん\(0\)個
の四つのパターンをそれぞれ求め、最後に和の法則を使って足し合わせなければなりません。
余事象の場合は問題の条件を満たさない場合のみを計算します。
りんごを「少なくとも\(1\)つ」選ぶを満たさないので、りんごを「\(1\)つも」選ばない場合になります。その選び方は
の一つのパターンに限られます。
四つのパターンを計算して全部足し合わせるより、全体の総数と一つのパターンを計算して引き算したほうが計算の回数が減り、時間短縮にも計算ミスの防止にもつながります。
りんご\(0\)個、みかん\(4\)個の選び方は、\(4\)つのみかんの中から\(4\)つ選ぶため、\(1\)通りしかありませんね。
全体の総数は順列を気にしない選び方のため、\(9\)個の中から\(4\)つ選ぶ組み合わせの公式を用いて、
\[_9 C_4 \verb|(通り)| = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \verb|(通り)| = 126 \verb|(通り)|\]
よって全体は\(126\)通りと分かります。
最後に全体から条件を満たさない場合を引けばよいので、
\[126 \verb|(通り)| – 1 \verb|(通り)| = 125 \verb|(通り)|\]
したがって答えは\(125\)通りとなります。
