[SPI・数学]対策問題(組み合わせ)～天びん～

• 1. 例題1
  • 1.1. 問題1
  • 1.2. 問題2

解説(クリックで展開)

• \(10g\)が\(2\)つ
  \(0g\)、\(10g\)、\(20g\)･･･\(3\)通り

• \(50g\)が\(1\)つ
  \(0g\)、\(50g\)･･･\(2\)通り

• \(100g\)が\(2\)つ
  \(0g\)、\(100g\)、\(200g\)･･･\(3\)通り

この\(10g\)なら\(3\)通り、\(50g\)なら\(2\)通り、\(100g\)なら\(3\)通りからそれぞれ\(1\)ずつ選ぶことになります。

例えば、\(70g\)を測りたい場合は\(10g\)の中からは\(20g\)を、\(50g\)の中からは\(50g\)を、\(100g\)の中からは\(0g\)を選ぶ事で\(70g\)になります。

要するに

のように、積の法則を用いて式を立てることができます。

しかしここで終わりではありません。

最後に、\(10g\)、\(50g\)、\(100g\)の中からそれぞれ\(0g\)を選んだ場合を見てみましょう。

これはおもりを\(1\)個も乗せていないことを意味しており、問題文の「少なくとも\(1\)つのおもりを乗せる」条件に当てはまらないのでカウントしてはいけません。

したがって先程求めた\(18\)通りから\(1\)通り引く必要があり、

となるため、\(17\)通りが答えとなります。

解答(クリックで展開)

\(17\)

解説(クリックで展開)

問1と同様に\(10g\)、\(50g\)、\(100g\)、それぞれのおもりで測れる重さを見ていきます。

• \(10g\)が\(7\)つ
  \(0g\)、\(10g\)、\(20g\)、\(30g\)、\(40g\)、\(50g\)、\(60g\)、\(70g\)･･･\(8\)通り

• \(50g\)が\(1\)つ
  \(0g\)、\(50g\)･･･\(2\)通り

• \(100g\)が\(2\)つ
  \(0g\)、\(100g\)、\(200g\)･･･\(3\)通り

ここから、先程のように

と、計算し、全て\(0\)個のときのパターンを引き\(47\)通りとなります。しかし今回は\(10g\)のおもりが\(7\)個あることに注意しなければなりません。

例えば、\(60g\)を作るとき、\(10g\)、\(50g\)、\(100g\)をそれぞれ、\(6\)個、\(0\)個、\(0\)個選ぶ場合と、\(2\)個、\(1\)個、\(0\)個選ぶ場合があり、先程の数え方をすると、これらを重複して数えることになってしまいます。

このように\(2\)通りの作り方がある重さを探していきます。すると、以下の\(10\)通りが\(2\)通りの作り方があることが分かり、計算上重複して数えていることが分かります。

\(50g\)、\(60g\)、\(70g\)、\(100g\)、\(110g\)、\(120g\)、\(150g\)、\(160g\)、\(170g\)、\(200\)

したがって、この重複する\(10\)通りを引きます。

これより、\(37\)通りとなります。

解答(クリックで展開)

\(37\)