[SPI・数学]組み合わせ:余事象[無料問題集]

2018年6月29日

今回はSPI余事象を使った問題を確認していきましょう。

ラク
ラク
余事象ってたしか、「少なくともAを選ぶ確率」みたいな感じだよな?
カズ
カズ
そうだよ!苦手な人も多いからしっかりと点を取れるようにしたいね!

SPI余事象の例題

余事象は全体の事象を求めてから、その事象が起こりえない事象を求め引き算をすることで求められます。

余事象におけるキーワードは「少なくとも~」や「~以上、~以下」です。実際に問題を通して見てみましょう。

問題

5種類のりんご(ふじ、つがる、王林、紅玉、陸奥)と4種類のみかん(愛媛、温州、伊予柑、はるみ)の合計9種類の果物が各1個ずつ売られている。この中からあわせて4つ買って帰りたい。

りんごを少なくとも1つ選ぶようにすると、その選び方は何通りあるか。

通り

(ログイン後回答すると、ここに前回の正誤情報が表示されます)

問の正解を表示
125通り
問の解説を表示
問題文に「少なくとも」があるので余事象を使うことが分かります。

余事象とは、ある事象についてその事象を求めることが難しい(めんどくさい)ため、全体からその事象が起こらない場合を引くことを指します。文章では分かりづらいのでこの問題に当てはめてみましょう。

直接求めた場合は以下のように四つのパターンをそれぞれ求め、最後に和の法則を使って足し合わせなければなりません。

  • りんご1個・みかん3個
  • りんご2個・みかん2個
  • りんご3個・みかん1個
  • りんご4個・みかん0個

余事象の場合は問題の条件を満たさない場合のみを計算します。

りんごを「少なくとも1つ」選ぶことを満たさないので、りんごを「1つも」選ばない場合になります。その選び方は以下の1パターンに限られます。

  • りんご0個・みかん4個

四つのパターンを計算して全部足し合わせるより、全体の総数と一つのパターンを計算して引き算したほうが計算の回数が減り、時間短縮にも計算ミスの防止にもつながります

りんご0個・みかん4個の選び方は、4つのみかんの中から4つ選ぶため、1通りしかありません。

全体の総数は順列を気にしない選び方のため、9個の中から4つ選ぶ組み合わせの公式を用いて、以下のようになります。

\[_9 C_4 \verb|(通り)| = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \verb|(通り)| = 126 \verb|(通り)|\]

これより、9この中から4個選ぶ選び方は\(126\)通りと分かります。

最後に全体から条件を満たさない場合を引けばよいので、以下のように立式できます。

\[126 \verb|(通り)| – 1 \verb|(通り)| = 125 \verb|(通り)|\]

したがって答えは125通りとなります。

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SPI余事象のまとめ

条件を満たすものよりも条件を満たさないものの方が少ない場合は、余事象を使うほうが早く正確に解けます。

しかし、条件を満たすものが少ない場合、余事象を使うことによって逆に計算が膨大になってしまうこともあるので、どちらの事象が少ないかをまずは見分けるように心がけましょう。

キュー
キュー
まずは全体の事象を求めて、そこから該当事象が起こりえない確率を引く流れは押さえておこう!
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