得点がマイナスになる場合の数が分子になります。したがって、まずはそのマイナスになるパターンが何通りあるのかを考えます。
今回のように玉の数が多く、色が多い場合はそれぞれ何個ずつ出したかで場合分けし、和の法則で足し合わせる解法が望ましいです。
青の玉が3個の場合
出した玉が全てマイナス得点となる青い玉なので、その合計得点も全てマイナスとなります。
青の玉が全部で3つ、選ぶ玉も3つなので、その組み合わせは以下のようになります。
\[_3 C _3 \verb|(通り)|= 1 \verb|(通り)|\]
これより、青の玉が3個のパターンは、1つだけです。
青の玉が2個・赤の玉が1個の場合
青の玉が2個・赤の玉が1個の場合、合計得点の最大値がいくつになるか考えてみましょう。
合計得点が最大になる条件は、赤い玉に書かれている数が最大で、青い玉に書かれている数が最小の場合となります。
青の玉が2個・赤の玉が1個の場合、赤のとりうる最大の数字の合計は、4と書かれたボールを1個取ることで、4点です。
青のとりうる最小の数字の合計は、2と書かれたボールと4と書かれたボールをそれぞれ取ることで、-6点です。
したがって、合計得点は最大でも\(4 – 6 = -2\)よりマイナスなので、全ての場合で合計点がマイナスとなります。
青の玉が3つのうち2つ、赤の玉が4つのうち1つなので、その選び方は以下のようにして求めます。
\[_3 C _2 \verb|(通り)|\times _4 C _1 \verb|(通り)|= 12 \verb|(通り)|\]
これより、青の玉が2個・赤の玉が1個の選び方は\(12\)通りです。
青の玉が1個・赤の玉が2個の場合
この場合も合計得点の最大値がいくつになるか考えます。
先ほどと同様に考えると、赤のとりうる最大の数字の合計は、4と書かれたボールと3と書かれたボールをそれぞれ取ることで、7点です。
青のとりうる最小の数字の合計は、2と書かれたボールを1個取ることで、-2点です。
したがって、合計得点は最大で\(7 – 2 = 5\)よりプラスなので、全ての場合で合計点がマイナスとは言えません。では逆に、最小値がいくつになるか考えます。
合計得点が最大になる条件は、赤い玉に書かれている数が最小で、青い玉に書かれている数が最大の場合となります。
赤のとりうる最小の数字の合計は、1と書かれたボールと2と書かれたボールをそれぞれ取ることで、3点です。
青のとりうる最小の数字の合計は、4と書かれたボールを1個取ることで、-4点です。
したがって、合計得点は最小で\(3 – 4 = -1\)よりマイナスなので、全ての場合で合計点がプラスとも言えません。
このような場合ではさらに場合わけする必要が出てきます。
青の玉が1個なので、青の玉を基準に場合分けしていきましょう。
また、このときの赤の玉のとりうる得点と場合の数もあらかじめ求めてしまいます。
赤の玉は1・2・3・4で、そこから2つ選ぶので、
\[_4 C _2 \verb|(通り)| = 6 \verb|(通り)|\]
その内訳は、以下のようになります。
- \(1 + 2 = 3\)
- \(1 + 3 = 4\)
- \(1 + 4 = 5\)
- \(2 + 3 = 5\)
- \(2 + 4 = 6\)
- \(3 + 4 = 7\)
青の玉の得点が-2の場合
あらかじめ求めた赤の玉のとりうる得点の中で、赤の玉の合計が2点より少ない組み合わせはありません。
したがって合計得点はどの組み合わせでもプラスとなるので0通りです。
青の玉の得点が-4の場合
あらかじめ求めた赤の玉のとりうる得点の中で、赤の玉の合計が4点より少ない組み合わせは1通りのみでした。
したがって合計得点がマイナスになる組み合わせは1通りです。
青の玉の得点が-6の場合
あらかじめ求めた赤の玉のとりうる得点の中で、赤の玉の合計が6点より少ない組み合わせは4通りありました。
したがって合計得点がマイナスになる組み合わせは4通りです。
これより、青の玉が1個・赤の玉が2個の場合、合計得点がマイナスになるのは\(1 + 4\)で5通りとなります。
赤の玉が3個の場合
出した玉が全てプラスの得点となる赤い玉なので、その合計得点も全てプラスとなります。
したがって、合計がマイナスとなる組み合わせは0通りです。
これより、合計の得点がマイナスとなる組み合わせは、\(1 + 12 + 5 + 0 = 18\)通りとなりました。
次に全ての数ですが、合計7つの玉の中から3つ選ぶので、以下のように求められます。
\[_7 C _3 \verb|(通り)|= 35 \verb|(通り)|\]
これより分母は35通りです。
したがって、求める確率は\(\frac{18}{35}\)となります。
