M/M/1の待ち行列モデル｜科目A-1（応用情報技術者） 令和6年 春期午前試験 問2
出典：令和6年春期 午前 問2
分野：基礎理論（中分類） ／ 応用数学
ATM（現金自動預払機）が1台ずつ設置してある二つの支店を統合し，統合後の支店にはATMを1台設置する。統合後のATMの平均待ち時間を求める式はどれか。ここで，待ち時間はM/M/1の待ち行列モデルに従い，平均待ち時間にはサービス時間を含まず，ATMを1台に統合しても十分に処理できるものとする。
〔条件〕
（1）統合後の平均サービス時間：Ts
（2）統合前のシステムの利用率：両支店ともρ
（3）統合後の利用者数：統合前の両支店の利用者数の合計
TSUNAGARU-ADVICE
まず押さえたいこと
M/M/1の待ち行列では、平均待ち時間は利用率と平均サービス時間から求めます。支店統合によって利用者数が合計される場合は、まず統合後の到着率がどう変化するかを考え、それに伴って利用率がどのように変わるかを整理するのが基本です。
迷ったときの判断軸
平均待ち時間にはサービス時間を含まないため、M/M/1における待ち行列での平均待ち時間の式を使います。また、ATMを2台から1台にする一方で利用者は両支店分が集まるので、統合前の利用率をそのまま使わないようにしましょう。統合後も十分に処理可能という条件から、統合後の利用率が1未満であることも確認できます。
科目Bにつなげるために
特にプロフェッショナルデジタルスキル（システム）試験合格を目指す方は、待ち行列モデルをサーバ統合・処理能力設計・応答時間評価に結び付けて理解しましょう。利用者や処理要求が集約されたときに、設備台数や利用率の変化が待ち時間へどのように影響するかを見積もる考え方が重要です。
M/M/1の待ち行列モデルで、サービス時間を含まない平均待ち時間は、利用率をρ、平均サービス時間をTsとすると、
平均待ち時間 = ρ ÷ （1 - ρ） × Ts
で求めます。
統合前は、二つの支店でそれぞれ利用率がρです。統合後は、二つの支店の利用者が1台のATMに集まるので、到着率は2倍になります。
ATM1台当たりの処理能力は変わらないため、統合後の利用率は、
ρ × 2 = 2ρ
となります。
これを平均待ち時間の式に代入すると、
平均待ち時間 = 2ρ ÷ （1 - 2ρ） × Ts
となります。
したがって、エが適切です。