論理演算｜科目A-1（応用情報技術者） 令和7年 春期午前試験 問1
出典：令和7年春期 午前 問1
分野：基礎理論（中分類） ／ 離散数学
論理式P，Qがいずれも真であるとき，論理式Rの真偽にかかわらず真になる式はどれか。ここで，" "および"￢"は否定，"∨"は論理和，"∧"は論理積，"→"は含意（"真→偽"となるときに限り偽となる演算）を表す。
- ア：（（P → Q）∧（Q → P））→（R → ￢Q）
- イ：（（P → Q）∧（Q → ￢P））→（Q → R）
- ウ：（（P → ￢Q）∨（Q → P））→（R → ￢Q）
- エ：（（P → ￢Q）∨（Q → ￢P））→（Q → R）
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まず押さえたいこと
含意P → Qは、前件が真で後件が偽のときだけ偽になり、それ以外は真になります。この問題ではPとQがともに真と決まっているので、まず各部分式の真偽を確定させ、その後にRが真の場合と偽の場合のどちらでも全体が真になるかを確認します。
迷ったときの判断軸
Rの値に関係なく真にしたい場合、外側の含意では前件を偽にできれば、後件の真偽にかかわらず全体が真になります。また、二重否定は元の命題と同じなので、否定記号が1本か2本かを見落とさないことも重要です。
科目Bにつなげるために
特にプロフェッショナルデジタルスキル（システム）試験合格を目指す方は、論理式を一度に読むのではなく、部分式ごとに真偽を確定して外側へ評価する手順を身に付けましょう。条件分岐、論理回路、プログラムの判定条件を追う問題にもつながります。
P、Qはいずれも真なので、P = 真、Q = 真として、各選択肢を順番に計算します。
含意「A → B」は、Aが真、Bが偽のときだけ偽になります。また、前件Aが偽であれば、後件Bの真偽にかかわらず全体は真になります。
ア：（（P → Q）∧（Q → P））→（R → ￢Q）
P → Q = 真 → 真 = 真です。
Q → P = 真 → 真 = 真です。
したがって、（P → Q）∧（Q → P）= 真 ∧ 真 = 真です。
一方、￢Q = 偽なので、R → ￢Q = R → 偽となります。
Rが真なら、真 → 偽 = 偽です。Rが偽なら、偽 → 偽 = 真です。
よって、アの式はRが真のときに偽となるため、常に真にはなりません。
イ：（（P → Q）∧（Q → ￢P））→（Q → R）
P → Q = 真 → 真 = 真です。
Q → ￢P = 偽 → 真 = 真です。
したがって、（P → Q）∧（Q → ￢P）= 真 ∧ 真 = 真です。
また、Q → R = 真 → Rとなるため、Rと同じ真偽になります。
Rが真なら、真 → 真 = 真です。Rが偽なら、真 → 偽 = 偽です。
よって、イの式はRが偽のときに偽となるため、常に真にはなりません。
ウ：（（P → ￢Q）∨（Q → P））→（R → ￢Q）
P → ￢Q = 真 → 偽 = 偽です。
Q → P = 真 → 真 = 真です。
したがって、（P → ￢Q）∨（Q → P）= 偽 ∨ 真 = 真です。
また、R → ￢Q = R → 偽となります。
Rが真なら、真 → 偽 = 偽です。Rが偽なら、偽 → 偽 = 真です。
よって、ウの式はRが真のときに偽となるため、常に真にはなりません。
エ：（（P → ￢Q）∨（Q → ￢P））→（Q → R）
P → ￢Q = 真 → 偽 = 偽です。
Q → ￢P = 真 → 偽 = 偽です。
したがって、（P → ￢Q）∨（Q → ￢P）= 偽 ∨ 偽 = 偽です。
含意は前件が偽であれば、後件の真偽にかかわらず真になります。そのため、Q → Rが真でも偽でも、偽 →（Q → R）= 真です。
これより、エの式はRの真偽にかかわらず真になります。
したがって、エが適切です。