M/M/1待ち行列｜科目A-1（応用情報技術者） 令和6年 秋期午前試験 問1
出典：令和6年秋期 午前 問1
分野：基礎理論（中分類） ／ 応用数学
M/M/1の待ち行列モデルにおいて，窓口の利用率が25%から40%に増えると，平均待ち時間は何倍になるか。
- ア：1.25
- イ：1.60
- ウ：2.00
- エ：3.00
TSUNAGARU-ADVICE
まず押さえたいこと
M/M/1の待ち行列モデルでは、平均待ち時間は利用率そのものに比例するのではなく、利用率 /（1 - 利用率）に比例して変化します。類題では、変化前と変化後についてこの比を求め、その比率同士を比較するのが基本です。
迷ったときの判断軸
利用率が上がった割合をそのまま待ち時間の倍率にしないことが重要です。特に、1 - 利用率を使うため、利用率が1に近づくほど待ち時間が急激に増える点に注意しましょう。百分率は計算前に小数へ直して扱います。
科目Bにつなげるために
特にプロフェッショナルデジタルスキル（システム）試験合格を目指す方は、この考え方をサーバの負荷率と応答時間の関係、キャパシティ設計、性能評価に結び付けましょう。高い利用率を維持することが必ずしも効率的とは限らず、余裕を持たせる設計が必要になる理由を説明できます。
M/M/1の待ち行列モデルでは、窓口の利用率をρとすると、平均待ち時間はρ ÷ （1 - ρ）に比例します。
利用率が25%のときは、次のとおりです。
0.25 ÷ （1 - 0.25） = 0.25 ÷ 0.75 = 1 ÷ 3
利用率が40%のときは、次のとおりです。
0.40 ÷ （1 - 0.40） = 0.40 ÷ 0.60 = 2 ÷ 3
したがって、平均待ち時間が何倍になるかを求めると、次のとおりです。
（2 ÷ 3） ÷ （1 ÷ 3） = 2
利用率は25%から40%へ1.6倍になっただけですが、待ち時間は利用率の上昇に伴って非線形に増加する点がポイントです。
したがって、ウが適切です。