SPIの組み合わせ問題における積の法則を使う問題は、与えられた要素を基に、いくつの組み合わせがあるかを積(掛け算)によって求めます。
例題1
問題1
\(2\)、\(3\)、\(5\)、\(7\)の四つの数字を用いて\(3\)桁の数を作りたい。ただし、同じ数字を何回用いても良いものとする。
いずれの位にも\(3\)が入っていない数は何通りあるか。
通り
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組み合わせ問題の基本的な問題です。問題文中で気をつけるべきことは二つあり、一つ目が「同じ数字を何回用いても良い」という条件。二つ目が「いずれの位にも\(3\)が入っていない」という条件です。
一つ目の「同じ数字を何回用いても良い」ということは、\(257\)のように各数字を一回だけ使う以外にも、\(225\)や\(777\)のように重複する場合も許されるということです。後々重複を許さない場合の問題も出てくるので、計算方法の違いを抑えて置いてください。
二つ目の「いずれの位にも\(3\)が入っていない」といった条件ですが、言い換えれば\(2\)、\(5\)、\(7\)の三つの数字で\(3\)桁の数字を何通り作れるか問われているのと同じ意味になります。
したがって以下のように考えます。
- 百の位になりうる数
\(2\)、\(5\)、\(7\)･･･\(3\)通り
- 十の位になりうる数
\(2\)、\(5\)、\(7\)･･･\(3\)通り
- 一の位になりうる数
\(2\)、\(5\)、\(7\)･･･\(3\)通り
求める\(3\)桁の個数は
\[3\verb|(通り)| \times 3\verb|(通り)| \times 3 \verb|(通り)| = 27 \verb|(通り)|\]
となります。
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問題2
\(0\)、\(2\)、\(3\)、\(5\)の四つの数字を用いて\(3\)桁の数を作りたい。ただし、同じ数字を何回用いても良いものとする。
これらの数値を用いて作ることのできる\(3\)桁の数は何通りあるか。
通り
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今度は特定の数字を使わないといった条件が消えました。しかし、\(0\)が要素に入っていることに注意しましょう。例えば\(023\)や\(005\)のように、百の位に\(0\)がつく数字は\(3\)桁とはいえません。(前者が\(2\)桁、後者が\(1\)桁ですね。)
逆に\(205\)や\(500\)のように十の位、一の位には\(0\)がついても問題ありません。
これらを踏まえると、
- 百の位になりうる数
\(2\)、\(3\)、\(5\)･･･\(3\)通り
- 十の位になりうる数
\(0\)、\(2\)、\(3\)、\(5\)･･･\(4\)通り
- 一の位になりうる数
\(0\)、\(2\)、\(3\)、\(5\)･･･\(4\)通り
求める\(3\)桁の個数は
\[3\verb|(通り)| \times 4 \verb|(通り)| \times 4 \verb|(通り)| =48 \verb|(通り)|\]
となります。
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問題3
\(2\)、\(3\)、\(5\)、\(7\)の四つの数字を用いて\(3\)桁の数を作りたい。ただし、同じ数字は一度しか用いてはいけないものとする。
これらの数値を用いて作ることのできる\(3\)桁の数は何通りあるか。
通り
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今度は条件が「
同じ数字は一度しか用いてはいけない」となっています。
これは百の位で\(2\)を使った場合、十の位では\(2\)を使うことはできず、残りの\(3\)、\(5\)、\(7\)の三つの中から選び、今度十の位で\(3\)を使った場合、一の位では\(2\)と\(3\)を使えないため、残りの\(5\)と\(7\)から選ぶような状況を言っています。
これらを踏まえると、
- 百の位になりうる数
\(2\)、\(3\)、\(5\)、\(7\)･･･\(4\)通り
- 十の位になりうる数
\(4\)通り\(- 1\)通り\(=3\)通り
- 一の位になりうる数
\(3\)通り\(- 1\)通り\(=2\)通り
求める\(3\)桁の個数は
\[4 \verb|(通り)| \times 3\verb|(通り)| \times 2\verb|(通り)|=24\verb|(通り)|\]
となります。
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ADVICE
問題文の条件によって計算方法も変わってくるので、急ぐあまり条件を見逃してしまわないように注意しましょう。
