[SPI・数学]対策問題(組み合わせ)～積の法則～

• 1. 例題1
  • 1.1. 問題1
  • 1.2. 問題2
  • 1.3. 問題3

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組み合わせ問題の基本的な問題です。問題文中で気をつけるべきことは二つあり、一つ目が「同じ数字を何回用いても良い」という条件。二つ目が「いずれの位にも\(3\)が入っていない」という条件です。

一つ目の「同じ数字を何回用いても良い」ということは、\(257\)のように各数字を一回だけ使う以外にも、\(225\)や\(777\)のように重複する場合も許されるということです。後々重複を許さない場合の問題も出てくるので、計算方法の違いを抑えて置いてください。

二つ目の「いずれの位にも\(3\)が入っていない」といった条件ですが、言い換えれば\(2\)、\(5\)、\(7\)の三つの数字で\(3\)桁の数字を何通り作れるか問われているのと同じ意味になります。

したがって以下のように考えます。

• 百の位になりうる数
  \(2\)、\(5\)、\(7\)･･･\(3\)通り

• 十の位になりうる数
  \(2\)、\(5\)、\(7\)･･･\(3\)通り

• 一の位になりうる数
  \(2\)、\(5\)、\(7\)･･･\(3\)通り

求める\(3\)桁の個数は

となります。

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\(27\)通り

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今度は特定の数字を使わないといった条件が消えました。しかし、\(0\)が要素に入っていることに注意しましょう。例えば\(023\)や\(005\)のように、百の位に\(0\)がつく数字は\(3\)桁とはいえません。(前者が\(2\)桁、後者が\(1\)桁ですね。)

逆に\(205\)や\(500\)のように十の位、一の位には\(0\)がついても問題ありません。

これらを踏まえると、

• 百の位になりうる数
  \(2\)、\(3\)、\(5\)･･･\(3\)通り

• 十の位になりうる数
  \(0\)、\(2\)、\(3\)、\(5\)･･･\(4\)通り

• 一の位になりうる数
  \(0\)、\(2\)、\(3\)、\(5\)･･･\(4\)通り

求める\(3\)桁の個数は

となります。

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\(48\)通り

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これは百の位で\(2\)を使った場合、十の位では\(2\)を使うことはできず、残りの\(3\)、\(5\)、\(7\)の三つの中から選び、今度十の位で\(3\)を使った場合、一の位では\(2\)と\(3\)を使えないため、残りの\(5\)と\(7\)から選ぶような状況を言っています。

これらを踏まえると、

• 百の位になりうる数
  \(2\)、\(3\)、\(5\)、\(7\)･･･\(4\)通り

• 十の位になりうる数
  \(4\)通り\(- 1\)通り\(=3\)通り

• 一の位になりうる数
  \(3\)通り\(- 1\)通り\(=2\)通り

求める\(3\)桁の個数は

となります。

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\(24\)通り