[SPI・数学]対策問題(確率)～和の法則～

• 1. 例題1
  • 1.1. 問題1
• 2. 例題2
  • 2.1. 問題1

解説(クリックで展開)

積の法則だけでは求められない問題です。

まず、問題文の「どちらか\(1\)人だけがあたりを引く確率」に注目します。

これは言い換えると、「Aだけがあたりを引く」場合と、「Bだけがあたりを引く」場合の\(2\)通りがあるということになります。

まず「Aだけがあたりを引く」場合を見てみましょう。

• 「Aだけがあたりを引く」場合

  Aがあたりを引く確率は、二項定理の公式を使って求めればよく、

  全部で\(5\)本のくじがあるので、全体の引き方は\(_5 C _1\)で\(5\)通り。

  また、あたりは\(2\)本あるので、あたりの引き方は\(_2 C _1\)で\(2\)通りとなります。

  ここで確率の公式、\(\frac{求める場合の数}{全ての場合の数}\)に、求める場合の数にあたりを引く引き方の\(2\)通りを、全ての場合の数にくじの引く引き方の\(5\)通りを当てはめます。

  したがってその確率は\(\frac{2}{5}\)となります。

  このとき、Aだけがあたりを引くので、Bはあたりを引いてはいけません。

  したがってBがはずれを引く確率を求めます。

  全部で\(5-1\)本のくじがあり、はずれの本数は\(3\)本なので、確率は\(\frac{3}{4}\)となります。

  ここから、「Aがあたりを引く確率」と「Bがはずれを引く確率」を積の法則を用いて計算すると、

  \[\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10} \]

  より\(\frac{3}{10}\)が得られます。

  次は「Bだけがあたりを引く」場合を考えます。

• 「Bだけがあたりを引く」場合

  Aがはずれを引く確率は\(5\)本中\(3\)本なので\(\frac{3}{5}\)

  Bがあたりを引く確率は\(4\)本中、残り\(2\)本のため\(\frac{2}{4}\)

  これをAのとき同様に積の法則で求めればよく、

  \[\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10} \]

  より\(\frac{3}{10}\)が得られます。

このようにして求めたそれぞれの確率を最後に和の法則により足し合わせます。

したがって、答えは\(\frac{3}{5}\)となります。

解答(クリックで展開)

\(\frac{3}{5}\)

解説(クリックで展開)

今回の問題では「カードをもとに戻す事」に注意します。

ハートを引く確率は\(\frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)で、ハート以外を引く確率は\(\frac{52-13}{52} = \frac{3}{4}\)です。

したがって、「\(1\)枚だけハートのカード」となる確率は

\[\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}\]

となりそうです。

しかしそれだけでは足りません。問1でもあったように\(1\)回目がハートで\(2\)回目はハート以外なのか、\(1\)回目がハート以外で\(2\)回目がハートなのかをしっかりと分けて考える必要があり、この考えが問題のポイントになります。

\(1\)回目がハートで\(2\)回目はハート以外の場合は先程の式

で問題ありません。

\(1\)回目がハート以外で\(2\)回目がハートの場合の式は以下のようになります。

これらを足し合わせることで

となり、答えは\(\frac{3}{8}\)となります。

解答(クリックで展開)

\(\frac{3}{8}\)