SPIの組み合わせ問題における和の法則を用いた問題になります。
条件によってはパターンを求める際にただ掛け算をするだけでは求められず、場合わけが必要になります。それらの場合わけで求めた数を足し合わせて最終的なパターン数を求めることを和の法則と呼びます。
例題1
問題1
\(2\)、\(3\)、\(5\)、\(7\)の四つの数字を用いて\(3\)桁の数を作りたい。ただし、同じ数字を何回用いても良いものとする。
\(550\)より大きい数は何通りあるか。
通り
解説(クリックで展開)
\(550\)より大きい数という条件がつきました。このままいきなり何通りあるか求めようとしても分からないので、最初に
百の位に、次に
十の位に注目した場合わけを行います。
- 百の位が\(2\)または\(3\)の場合
\(550\)より大きくなることは無いので\(0\)通り･･･(a)
- 百の位が\(5\)かつ十の位が\(2\)または\(3\)の場合
\(550\)より大きくなることは無いので\(0\)通り･･･(b)
- 百の位が\(5\)かつ十の位が\(5\)の場合
一の位には\(2\)、\(3\)、\(5\)、\(7\)のいずれの値がきても\(550\)を超えるため\(4\)通り･･･(c)
- 百の位が\(5\)かつ十の位が\(7\)の場合
一の位には\(2\)、\(3\)、\(5\)、\(7\)のいずれの値がきても\(550\)を超えるため\(4\)通り･･･(d)
- 百の位が\(7\)の場合
十の位及び一の位には\(2\)、\(3\)、\(5\)、\(7\)のいずれの値がきても\(550\)を超えるため\(4 \times 4 = 16\)通り･･･(e)
したがって求める値は(a)～(e)の合計を取って
\[0\verb|(通り)| + 0\verb|(通り)| + 4\verb|(通り)| + 4\verb|(通り)| + 16\verb|(通り)| = 24\verb|(通り)|\]
より\(24\)通りとなります。
解答(クリックで展開)
ADVICE
今回の問題のように、それぞれの場合をばらばらに求めて最後に足し合わせれば求められることを和の法則といいました。また、各場合においては積の法則を使うことになるので、和の法則と積の法則の使い分けをしっかりできるようにしましょう。
